Определение масс небесных тел

Массы небесных тел можно измерить разными способами:

  1. Путем измерения силы тяжести на поверхности данного небесного тела (гравиметрический способ).
  2. По третьему обобщенному закону Кеплера.

Первый способ применительно к Земле рассматривается тут.

Прежде чем рассматривать второй способ, проверим выполнение третьего закона Кеплера для случая кругового движения планеты со скоростью \(v_{к}\).

Пусть тело массой \(m\) движется с линейной скоростью \(v_{к}\) вокруг тела \(M\) (\(m ≪ M\)) по окружности радиуса \(r_{к}\). Это возможно, если движение происходит под действием силы, создающей центростремительное ускорение \(a = \frac{v_{к}^{2}}{r_{к}}\). Силой, создающей ускорение, является сила тяготения, равная \(\frac{GMm}{r_{к}^{2}}\). Приравнивая \(\frac{v_{к}^{2}}{r_{к}}\) к ускорению \(\frac{GM}{r_{к}^{2}}\), создаваемому тяготением, получим, что \[v_{к}^{2} = \frac{GM}{r_{к}}.\]

Если период обращения тела \(m\) вокруг тела \(M\) составляет время \(T\), то линейная скорость движения этого тела по орбите равна \[v_{к} = \frac{2πr_{к}}{T}.\]

Подставляя \(v_{к} = \frac{2πr_{к}}{T}\) в \(v_{к}^{2} = \frac{GM}{r_{к}}\), получим: \(\left (2π\frac{r_{к}}{T} \right )^{2} = \frac{GM}{r_{к}}\), или \[\frac{r_{к}^{2}}{T^{2}} = \frac{GM}{4π^{2}}.\]

Для эллиптического движения формула \(\frac{r_{к}^{2}}{T^{2}} = \frac{GM}{4π^{2}}\) также справедлива, если вместо радиуса окружности \(r_{к}\) подставить большую полуось \(a\) эллиптической орбиты. В таком случае получим соотношение: \[\frac{a^{3}}{T^{2}M} = \frac{G}{4π^{2}},\] которое можно сформулировать следующим образом: отношение куба большой полуоси орбиты тела к квадрату периода его обращения и массе центрального тела есть величина постоянная.

Если массой \(m\) меньшего тела нельзя пренебрегать по сравнению с массой \(M\) центрального тела, то в третий закон Кеплера, как показал Ньютон, вместо массы \(M\) войдет сумма масс (\(M + m\)) и соотношение \(\frac{a^{3}}{T^{2}M} = \frac{G}{4π^{2}}\) запишется в виде: \[\frac{a^{3}}{T^{2}(M + m)} = \frac{G}{4π^{2}}.\]

Обобщив формулу \(\frac{a^{3}}{T^{2}(M + m)} = \frac{G}{4π^{2}}\) для двух небесных тел массами \(M_{1}\) и \(M_{2}\), получим: \[\frac{T_{1}^{2}(M_{1} + m_{1})}{T_{2}^{2}(M_{2} + m_{2})} = \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}},\] т. е. квадраты сидерических периодов спутников (\(T_{1}^{2}\) и \(T_{2}^{2}\)), умноженные на сумму масс главного тела и спутника (\(M_{1} + m_{1}\) и \(M_{2} + m_{2}\)), относятся как кубы больших полуосей орбит спутников (\(a_{1}^{3}\) и \(a_{2}^{3}\)).

На основе уточненного Ньютоном третьего закона Кеплера можно вычислить массы планет имеющих спутники, вторым способом, а также вычислить массу Солнца.

Массы планет, не имеющих спутников, могут быть определены по возмущениям, которые они вызывают в движении Земли, Марса, астероидов, комет, а также по возмущениям, производимым ими друг на друга.

Читать далее