Космические скорости

Наиболее простой случай движения тел вблизи поверхности Земли под действием силы тяжести - свободное падение с начальной скоростью, равной нулю. В этом случае тело движется прямолинейно с ускорением свободного падения по направлению к центру Земли. Если тело имеет начальную скорость, величина которой отлична от нуля, и ее вектор направлен не по вертикали, то тело под действием силы тяжести начнет двигаться с ускорением свободного падения по криволинейной траектории.

Рассмотрим тело, находящееся за пределами земной атмосферы. Предположим, что вектор начальной скорости этого тела направлен по касательной к поверхности Земли. В зависимости от значения начальной скорости дальнейшее движение тела может быть различным:

  • при малых начальных скоростях (\(v_{01}\), \(v_{02}\), \(v_{03}\)) тело упадет на Землю;
  • при некотором определенном значении скорости \(v_{1}\) (первая космическая скорость) тело станет искусственным спутником и начнет обращаться вокруг Земли, подобно ее естественному спутнику - Луне;
  • при еще большем увеличении значения скорости и достижении следующего определенного значения \(v_{2}\) (вторая космическая скорость) тело уйдет от Земли так далеко, что сила земного притяжения практически не будет влиять на его движение. Тело начнет обращаться вокруг Солнца, подобно искусственной планете;
  • наконец, если скорость тела достигнет определенного значения \(v_{3}\) - (третья космическая скорость), то данное тело навсегда уйдет из Солнечной системы в мировое пространство.

Рассмотрим случай, когда тело становится искусственным спутником Земли, т. е. определим первую космическую скорость \(v_{1}\). Найдем эту скорость по второму закону Ньютона из условия, что под действием силы тяготения тело приобретает центростремительное ускорение: \[G\frac{mM}{R_{орб}^{2}} = ma_{ц},\] где \(R_{орб} = R + h\) - средний радиус орбиты тела, \(R\) - радиус Земли, \(h\) - высота тела над поверхностью Земли, \(M\) - масса Земли, \(m\) - масса тела (спутника).

Для центростремительного ускорения \(a_{ц} = \frac{v_{1}^{2}}{R_{орб}} = \frac{v_{1}^{2}}{R + h}\). Подставляя это выражение в формулу \(G\frac{mM}{R_{орб}^{2}} = ma_{ц}\), после сокращений получаем: \[v_{1} = \sqrt{G\frac{M}{R + h}}.\]

У поверхности Земли с учетом выражения для ускорения свободного падения \(g = G\frac{M}{R^{2}}\) можно положить \(h = 0\). Тогда первая космическая скорость (без учета сопротивления воздуха) равна (м/с): \[v_{1} = \sqrt{gR} = \sqrt{9,8 · 6,37 · 10^{6}} = 7,9 · 10^{3}.\]

Таким образом, тело, скорость которого равна \(7,9 · 10^{3}\) м/с и направлена по касательной относительно поверхности Земли, становится искусственным спутником Земли, движущимся по круговой орбите над Землей. В небесной механике первая космическая скорость называется также круговой скоростью.

Вторая космическая скорость определяется из условия, что тело должно уйти из сферы земного тяготения и стать спутником Солнца. Расчеты дают следующее выражение для определения второй космической скорости (без учета сопротивления воздуха): \[v_{2} = \sqrt{2gR},\] где \(R\) - радиус Земли.

Используя выражение \(v_{1} = \sqrt{gR}\), находим: \[v_{2} = v_{1}\sqrt{2}.\]

Подставляя в формулу \(v_{2} = v_{1}\sqrt{2}\) уже известное нам значение первой космической скорости, получим, что у поверхности Земли \(v_{2}\) ≈ 11,2 · 103 м/с. Вторая космическая скорость называется также скоростью освобождения (убегания, ускользания) или параболической скоростью.

Третья космическая скорость, или гиперболическая скорость, - это наименьшая начальная скорость, с которой тело должно преодолеть земное притяжение и выйти на околосолнечную орбиту со скоростью, необходимой для того, чтобы навсегда покинуть пределы Солнечной системы.

Расчеты дают следующую формулу для нахождения величины этой скорости: \[v_{3} = \sqrt{\left(\sqrt{2} - 1\right)^{2}v^{2} + v_{2}^{2}},\] где \(v\) ≈ 29,8 ·103 м/с - скорость Земли на круговой орбите движения вокруг Солнца.

Подставляя значение второй космической скорости \(v_{2}\) в формулу \(v_{3} = \sqrt{\left(\sqrt{2} - 1\right)^{2}v^{2} + v_{2}^{2}}\) и проведя расчет, получим, что тело должно иметь минимальную скорость \(v_{3}\) ≈ 16,7 · 103 м/с, чтобы покинуть пределы Солнечной системы.

Читать далее