Система как непрерывный объект (континуальное описание)

Рассмотрим теперь такую систему, как лес. Однако, чтобы дать характеристику лесу, довольно бессмысленно перечислять всех представителей растительного и животного мира данного леса. И не только потому, что это слишком утомительная, если вообще возможная, задача. Заготовителей древесины, грибников, военных, экологов интересуют разные сведения. Как построить адекватную модель описания данной системы?

Например, интересы лесозаготовителей можно учесть, рассмотрев среднее количество (в м3) деловой древесины на квадратный километр леса в данном районе. Обозначим эту величину через \(M\). Поскольку она зависит от района, который рассматривается, введем координаты \(x\) и \(y\), характеризующие район, и обозначим зависимость \(M\) от координат как функцию \(M(x, y)\). Наконец, величина \(M\) зависит от времени (одни деревья растут, другие гниют, происходят пожары и т. д.). Поэтому для полного описания необходимо знать зависимость этой величины и от времени \(M(x, y, t)\). Тогда величины можно реально, хотя и приближенно, оценить, исходя из наблюдения за лесом.

Приведем другой пример. Течение воды представляет собой механическое перемещение частичек воды и примесей. Однако описать течение при помощи корпускулярного метода просто невозможно: в одном литре воды содержится более 1025 молекул. Для того чтобы охарактеризовать течение воды в различных точках акватории, необходимо знать скорость, с которой перемещаются частички воды в данной точке, т. е. функцию \(\vec{v}(x, y, z, t)\). (Переменная \(t\) означает, что скорость может зависеть от времени, например при повышении уровня воды во время наводнения.)

Подобное описание называют полевым, а функцию, определяющую некоторую характеристику протяженного объекта в зависимости от координат и времени, называют полем. В приведенных выше примерах функция \(M(x, y, t)\) представляет собой скалярное поле, характеризующее плотность деловой древесины в лесу, а функция \(\vec{v}(x, y, z, t)\) - векторное поле, характеризующее скорость течения жидкости. Различных полей существует великое множество. Фактически, описывая любой протяженный объект как нечто непрерывное, можно ввести свое поле, и не одно.

При непрерывном (континуальном) описании некоторого протяженного объекта используют понятие поля. Поле - это некоторая характеристика объекта, выраженная как функция от координат и времени.

Читать далее