Графики пути и скорости при равномерном прямолинейном движении

Можно ли выразить связь пути \(s\) и времени \(t\) не через формулы, а каким-либо другим способом? Для этого используются графики.

Поясним суть графического метода на конкретном примере. Пусть самолет движется равномерно и прямолинейно со скоростью \(v = 900 \frac{км}{ч}\). Опишем движение самолета графически, т. е. построим графики зависимости пути и скорости движения самолета от времени движения.

Путь \(s\) от начального момента времени \(t_{0}\) до момента времени \(t\) равен \(v(t − t_{0})\). Начальный момент времени \(t_{0}\) примем за нуль (\(t_{0} = 0\)). Тогда формула пути упростится: \(s = vt\).

Найдем значения пути для различных значений промежутка времени и занесем их в таблицу:

Время движения \(t\), ч Пройденный путь \(s\), км
0 0
1 900
2 1800
3 2700
4 3600
5 4500
6 5400

Например, если \(t = 3\:ч\), то \[s = 900 \frac{км}{ч} \cdot 3\:ч = 2700\:км.\]

Теперь построим график зависимости пути от времени. По оси абсцисс в определенном масштабе (например, 1 см - 1 ч) будем откладывать промежутки времени движения, а по оси ординат (в масштабе 1 см - 900 км) - путь.

Прямая выражает графическую зависимость пути от времени равномерного движения самолета. Эту прямую называют графиком пути. График пути напоминает известный вам из математики график функции \(y = kx\), выражающей прямую пропорциональную зависимость \(у\) от \(х\).

Ценность графика пути в том, что он, как и соотношение \(s = vt\), позволяет решить главную задачу - найти путь \(s\), пройденный телом за произвольный промежуток времени \(t\).

Например, нас интересует путь самолета за промежуток времени \(t = 4\:ч\). Для этого из точки на горизонтальной оси, соответствующей времени \(t = 4\:ч\), проводим перпендикуляр до пересечения с графиком. Из найденной опускаем перпендикуляр на ось ординат и получаем ответ без вычислений. Путь \(s = 3600\:км\).

А что представляет собой график скорости? Он выражает зависимость скорости от времени. Так как скорость с течением времени не изменяется, то различным моментам времени соответствует одно и то же значение скорости. Составим таблицу и построим прямую, выражающую зависимость скорости от времени, откладывая по оси абсцисс время, а по оси ординат - скорость.

Время движения \(t\), ч Скорость \(v\), \(\frac{км}{ч}\)
0 900
1 900
2 900
3 900
4 900
5 900
6 900

График скорости равномерного прямолинейного движения - прямая, параллельная оси времени.

Прямая изображает график скорости движения самолета. Что дает график скорости? Он не только показывает значение скорости, но и позволяет найти пройденный путь. Рассчитаем путь самолета за промежуток времени \(t = 2\:ч\). Согласно формуле \(s = vt\) этот путь \(s = 900 \frac{км}{ч} \cdot 2\:ч = 1800\:км\). Посмотрим на это произведение с точки зрения геометрии. Первый множитель (\(900 \frac{км}{ч}\)) выражает одну сторону прямоугольника, второй (\(2\:ч\)) - другую. Из математики вы уже знаете, что перемножением сторон \(a\) и \(b\) находят площадь \(S\) прямоугольника. Конечно, площадь не есть путь, речь идет только о численном равенстве. Пройденный путь численно равен площади фигуры под графиком скорости.

Площадью фигуры под графиком скорости определяется путь не только при равномерном прямолинейном, но и при любом другом движении. Например, путь за промежуток времени \(t_{1}\) численно равен площади фигуры: \(s = S_{трапеции}\).

Главные выводы:

  1. График пути выражает зависимость пройденного пути от времени движения тела.
  2. Путь при равномерном прямолинейном движении можно определить по формуле \(s = vt\), по графику пути или с помощью графика скорости.

Читать далее